MATERI AJAR MATRIKS (1)

SMA WR SUPRATMAN 2 MEDAN

Tahun Pelajaran     : 2025/2026

Semester              : I(Satu)

Kelas                    : XI MIPA 2

Materi Ajar            : MATRIKS – 1

Hari/tanggal          :

Waktu                  :

 

Daftar Isi

1.   Defenisi matriks  

2.   Ordo Matriks

3.   Jenis Matriks

3.1.  Matriks Nol

3.2.  Matriks Bujursangkar

3.3.  Matriks Diagonal

3.4.  Matriks Identitas

3.5.  Matriks Baris

3.6.  Matriks Kolom 

4.   Kesamaan Matriks

 

Tujuan :

Melalui pengamatan siswa mengenal dan memahami matriks serta mampu menerapkannya baik dalam mata pelajaran Matematika, dan mata pelajaran lainnya maupun dalam kehidupan sehari – hari.

 

1.   Defenisi Matriks

Susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan – bilangan yang diatur pada baris dan kolom (lajur). 

Setiap bilangan yang terdapat di dalam baris atau kolom dari suatu matriks disebut elemen atau unsur.

 

Contoh

Misalkan

Tentukanlah : a₂₁ , a₁₂ dan a₃₄.

 

Pembahasan :

 

Jika a₂₁ berarti berada di baris ke – 2 dan kolom ke – 1, sehingga a₂₁ = 3.

 

Untuk a₁₂ berarti berada di baris ke – 1 dan kolom ke – 2, sehingga a₁₂ = 4. 

 

Untuk a₂₄ berarti berada di baris ke – 3 dan kolom ke – 4, sehingga a₃₄ = 12.

 

2.   Ordo matriks

 

Suatu matriks yang mempunyai m – baris dan n – kolom disebut matriks berordo (m x n).

 

Contoh

Tentukanlah ordo dari

Pembahasan :

 

Bagian a)

Matriks A memiliki 3 baris dan 2 kolom, sehingga matriks A disebut matriks berordo tiga kali dua (A_{3 x 2}).

 

Bagian b)

Matriks B memiliki 2 baris dan 4 kolom, sehingga matriks B disebut matriks berordo dua kali empat (B_{2 x 4}).

 

3.   Jenis Matriks

Matriks Nol

Apabila setiap elemen dari suatu matriks adalah nol, maka matriksnya disebut matriks nol. Matriks nol disajikan dengan 0. Berikut ini adalah beberapa contoh dari matriks nol.

 

Matriks Bujursangkar

Apabila pada suatu matriks, banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, maka matriks tersebut disebut matriks bujursangkar. Apabila banyaknya baris pada matriks bujursangkar adalah n, maka matriks berordo n x n itu disebut pada matriks bujursangkar ordo n.

 

Berikut ini adalah beberapa contoh dari matriks bujursangkar.

Elemen – elemen 3 dan 8 matriks A disebut elemen – elemen yang terletak pada diagonal utama matriks A. Sedangkan elemen – elemen 3, 7, dan 9 pada matriks B disebut elemen – elemen yang terletak pada diagonal utama matriks B.

Matriks Diagonal

Apabila pada matriks bujursangkar, setiap elemen yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol, sedangkan elemen – elemen pada diagonal utama tidak semuanya nol, maka matriks itu disebut matriks diagonal.

 

Berikut ini adalah beberapa contoh matriks diagonal. 

Matriks Identitas

Apabila pada matriks diagonal, setiap elemen pada diagonal utama adalah 1, maka matriks itu disebut matriks Identitas. Matriks Identitas bisa juga disebut dengan matriks satuan. Matriks Identitas yang berordo n bisa dilambangkan dengan 1 x n.

 

Berikut ini adalah beberapa contoh matriks identitas.

Matriks Baris

Matriks yang hanya mempunyai satu baris dan disebut matriks baris.

 

Berikut ini adalah beberapa contoh matriks baris.

 

A = (3   5   2) dan

 

B = (0   0   0)

 

Matriks Kolom

Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut  dengan matriks kolom.

 

Berikut ini adalah beberapa contoh matriks kolom.

 

Dari matriks A dapat dibentuk matriks baru dengan cara setiap elemen yang berada di baris ke – k ditempatkan di kolom ke – k. Matriks baru ini disebut matriks transpos dan dinyatakan A’ atau A^t. 

 

Contoh : 1

Tentukan matriks transpos dari matriks

Pembahasan :

Contoh : 2

Tentukan matriks transpos dari matriks

Pembahasan :

 

4.   Kesamaan Matriks

Matriks A dan B dikatakan sama dan ditulis A = B, apabila ordonya sama dan elemen – elemen yang terletak sama.

 

Contoh : 3

Tentukanlah a dan b supaya kedua matriks adalah sama.

Pembahasan :

ó a = 3

ó 8 = a + b

ó 8 = 3 + b

ó b = 8 – 3

ó b = 5

 

Read More

Kunci Jawaban Penilaian Tengah Semester 1

MATEMATIKA (WAJIB)

Tahun Pelajaran 2025/2026

Semester         : I (satu)

Kelas               : XI MIPA 1/2

Hari/tanggal     : Kamis, 18 September 2025

Waktu              : 07.30 – 08.20 wib

 

Pilihan Berganda

Pembahasan soal : 1

 

ó f(x) = px – 3

ó g(x) = (p + 1)x – 2

ó jika (f o g)(x) – 3 = (g o f)(x) + 1

ó maka 2p² = …

 

Langkah 1 (pertama)

kita selesaikan bagian kiri

ó (f o g)(x) – 3

ó f(g(x)) – 3

ó (px – 3) – 3

ó (p((p + 1)x – 2) – 3) – 3

ó (p²x + px – 2p) – 6  … (1)

 

Langkah 2 (kedua)

kita selesaikan bagian kanan

ó (g o f)(x) + 1

ó g(f(x)) + 1

ó ((p + 1)x – 2) + 1

ó ((p + 1)(px – 3) – 2) + 1 

ó (p²x – 3p + px – 3 – 2 + 1

ó p²x + px – 3p – 4  … (2)

 

Langkah 3 (ketiga)

Substitusikan pers (1) dengan pers (2)

ó p²x + px – 2p – 6 = p²x + px – 3p – 4

 

Perhatikan p²x dan px ada dibagian kiri dan kanan, dapat kita coret langsung.

 

ó – 2p – 6 = – 3p – 4

ó – 2p + 3p = – 4 + 6

ó p = 2

 

Langkah 4 (keempat)

Merupakan langkah terakhir untuk menghitung nilai 2p².

ó 2p² = 2(2)².

ó 2p² = 8

 

Kunci : C

 

Pembahasan soal : 2

 

Fungsi f{(– 1,1);(– 5,– 3);(2,7);(6,5)}

Fungsi g{(1,2) ; (3, – 1) ; (5,6) ; (7, – 5)}

Fungsi komposisi (g o f)(2) = …

 

Langkah 1 (pertama)

Untuk fungsi f à f(x) = ax + b

 

(– 1, 1) à 1 = a(– 1) + b

                1 = – a + b … (1)

 

(– 5, – 3) à – 3 = a(– 5) + b

                   – 3 = – 5a + b … (2)

 

Langkah 2 (kedua)

Kita eliminasi kedua persamaan (1) dan (2)

Silahkan substitusikan nilai a = 1 ke salah satu persamaan.

Pada kesempatan kali ini kita memilih persamaan (1).

 

ó 1 = – a + b

ó 1 = – (1) + b 

ó b = 2

 

Maka fungsi f yang kita peroleh f(x) = x + 2

 

Langkah 3 (ketiga)

Untuk fungsi f à g(x) = ax + b

 

(1, 2) à 2 = a(1) + b

             2 = a + b … (3)

 

(3, – 1) à – 1 = a(3) + b

                – 1 = 3a + b … (2)

 

Langkah 4 (keempat)

Kita eliminasi kedua persamaan (3) dan (4)

Silahkan substitusikan nilai a = - 3/2  ke salah satu persamaan. Pada kesempatan kali ini kita memilih persamaan (3).

 

ó 2 = a + b

ó 2 = – (3/2) + b 

ó b = 7/2

 

Maka fungsi g yang kita peroleh g(x) = – (3/2)x + (7/2)

Kita substitusikan nilai x = 2,

Kunci : opsi tidak ada

 

Pembahasan soal : 3

 

ó f(x) = 2x – 8

ó g(x) = 4x + 10

ó h(x) = (f o g)(x)

ó h(x) = … ?

 

ó h(x) = (f o g)(x)

ó h(x) = f(g(x))

ó h(x) = 2x – 8

ó h(x) = 2(4x + 10) – 8

ó h(x) = 8x + 20 – 8

ó h(x) = 8x + 12

 

Kunci : B

 

Pembahasan soal : 4

 

ó f(x) = 2x + 4

ó f ^{– 1} (x) = … ?

 

Misalkan f(x) = y

ó         y = 2x + 4

ó   y – 4 = 2x

ó         x = ½ (y – 4)

ó f ^{– 1} (x) = ½ (x – 4)

 

Kunci : A

 

Pembahasan soal : 5

 

ó f(x) = 2x + 3

ó (f ^{– 1}(g(x))) ^{– 1} = …

 

Langkah 1 (pertama)

 

ó f(x) = y

ó y = 2x + 3

ó y – 3 = 2x

ó x = ½ (y – 3)

 

Maka f ^{– 1} (x) :

 

ó f ^{– 1} (x) = ½ (x – 3)

 

Langkah 2 (kedua)

Sementara (f ^{– 1} (g(x))) ^{– 1} :

 

ó p = f ^{– 1} (x)

ó p = ½ (x – 3)

ó 2p = x – 3

ó x = 2p + 3

ó (f ^{– 1} (g(x))) ^{– 1} = 2x + 3

 

Kunci : A

 

Pembahasan soal : 6

 

ó f(x) = 2x² + 3x – 1

Peta dari 3 = …

 

ó f(x) = 2x² + 3x – 1

ó f(3) = 2(3)² + 3(3) – 1

ó f(3) = 18 + 9 – 1

ó f(3) = 26

 

Kunci : B

 

Pembahasan soal : 7

Untuk menyelesaiakannya,

Untuk invers f ^{– 1} (x) :

Kunci : B

Pembahasan soal : 8

Maka (f o g)(a) = (g o f)(a)

PK di atas kita sederhanakan dengan membagi 4. 

ó a² – 4a + 3 = 0

ó (a – 1)(a – 3) = 0

ó a₁ = 1 atau a₂ = 3

 

Kunci : A

 

Pembahasan soal : 9

 

Langkah 1 (Pertama)

 

ó f(2x + 5) = 4x

ó g(4 – x) = 2x

ó f(g(2)) + g(f(3)) = …

 

Misalkan y = 2x + 5

ó   y = 2x + 5

ó 2x = y – 5

ó   x = ½ (y – 5)

 

ó f(x) = 4x

ó f(x) = 4(1/2 (x – 5))

ó f(x) = 2x – 10

 

Langkah 2 (Kedua)

 

Misalkan y = 4 – x

ó y = 4 – x

ó x = 4 – y

 

ó g(x) = 2x

ó g(x) = 2(4 – x)

ó g(x) = 8 – 2x 

 

Langkah 3 (Ketiga)

 

ó f(g(x)) = 2x – 10

ó f(g(x)) = 2(8 – 2x) – 10

ó f(g(x)) = 16 – 4x – 10

ó f(g(x)) = 6 – 4x

ó untuk x = 2, maka f(g(x)) :

ó f(g(2)) = 6 – 4(2)

ó f(g(2)) = – 2

 

Langkah 4 (Keempat)

 

ó g(f(x)) = 8 – 2x

ó g(f(x)) = 8 – 2(2x – 10)

ó g(f(x)) = 8 – 4x + 20

ó g(f(x)) = 28 – 4x

ó untuk x = 3, maka g(f(x)) :

ó g(f(3)) = 28 – 4(3)

ó g(f(3)) = 16

 

Langkah 5 (Kelima)

 

= f(g(2)) + g(f(3))

= – 2 + 16

= 14

 

Kunci : C

 

Pembahasan soal : 10

 

ó f(x) = 2 – x

ó g(x) = x² + 1

ó h(x) = 3x

 

Maka (f o g o h)(3) = …

 

ó (f o g)(x) = 2 – x

ó (f o g)(x) = 2 – (x² + 1)

ó (f o g)(x) = 2 – 1 – x²

ó (f o g)(x) = 1 – x²

 

ó (f o g o h)(x) = 1 – x²

ó (f o g o h)(x) = 1 – (3x)²

ó (f o g o h)(x) = 1 – 9x²

ó (f o g o h)(3) = 1 – 9(3)²

ó (f o g o h)(3) = – 80

 

Kunci : A

 

Uraian

 

Pembahasan soal : 1

 

ó     f(x) = 2x + 5

ó g(f(x)) = 6x + 14

ó    g(7) = … ?

 

Misalkan, y = 2x + 5

ó 2x = y – 5

ó   x = ½ (y – 5)

 

ó g(f(x)) = 6x + 14

ó     g(y) = 6(1/2 (y – 5)) + 14

ó     g(y) = 3(y – 5) + 14

ó     g(y) = 3y – 15 + 14

ó     g(y) = 3y – 1

ó     g(7) = 3(7) – 1

ó     g(7) = 21 – 1

ó     g(7) = 20 

 

Pembahasan soal : 2

Maka nilai inversnya dapat kita tentukan.

Maka invers fungsinya menjadi,

Maka nilai invers saat x = 3,

Pembahasan soal : 3

 

ó f(x) = 2 – 3x

ó g(x) = x² + 3x + 2

ó h(x) = 3x – 5

ó (f o g o h)(2) = … ?

 

Maka penyelesaiannya dapat kita lakukan,

 

Langkah 1 (pertama)

 

ó (g o h)(x) = (g (h(x)))

ó (g o h)(x) = x² + 3x + 2

ó (g o h)(x) = (3x – 5)² + 3(3x – 5) + 2

ó (g o h)(x) = 9x² – 30x + 25 + 9x – 15 + 2

ó (g o h)(x) = 9x² – 21x + 12

 

Langkah 2 (kedua)

 

ó (f o g o h)(x) = f(g(h(x)))

ó (f o g o h)(x) = 2 – 3x

ó (f o g o h)(x) = 2 – 3(9x² – 21x + 12)

ó (f o g o h)(x) = 2 – 27x² + 63x – 36

ó (f o g o h)(x) = – 27x² + 63x – 34

 

Langkah 3 (ketiga)

 

ó substitusikan nilai x = 2

ó (f o g o h)(2) = – 27(2)² + 63(2) – 34

ó (f o g o h)(2) = – 108 + 126 – 34

ó (f o g o h)(2) = – 16

 

Pembahasan soal : 4

 

ó f(x) = 2x² + 5

ó g(x) = 3x – 1

ó (f o g)(– 1) = …

 

Maka penyelesaiannya dapat kita lakukan sebagai berikut.

ó (f o g)(x) = f(g(x))

ó (f o g)(x) = 2x² + 5

ó (f o g)(x) = 2(3x – 1)² + 5

ó (f o g)(x) = 2(9x² – 6x + 1) + 5

ó (f o g)(x) = 18x² – 12x + 2 + 5

ó (f o g)(x) = 18x² – 12x + 7

 

Substitusikan nilai x = – 1,

 

ó (f o g)(x) = 18x² – 12x + 7

ó (f o g)(x) = 18(– 1)² – 12(– 1) + 7

ó (f o g)(x) = 18 + 12 + 7

ó (f o g)(x) = 37

 

Pembahasan soal : 5

Dan h(x) = f(x) + g(x)

Maka nilai a² + 2ab + b² = …

Karena (x – 3)(x + 3) = x² – 9, maka :

 

ó 5x + 3 = bx + 3b + ax – 3a

ó 5x + 3 = (a + b)x – 3(a – b)

 

ó 5x = (a + b)x

ó   5 = (a + b) … (1)

 

ó    3 = – 3(a – b)

ó – 1 = a – b … (2) 

Maka kedua persamaan kita eliminasi.

Maka nilai b dapat kita tentukan

ó 5 = a + b

ó 5 = 2 + b

ó b = 3

Dan nilai a² + 2ab + b²

 

= a² + 2ab + b²

= (2)² + 2(2)(3) + (3)²

= 4 + 12 + 9

= 25

 

Terima kasih

 

Read More