SERI - 7 SOAL DAN PEMBAHASAN ATURAN COSINUS

Selamat datang di blog saya,

Soal yang akan kita bahas kali ini saya kutip dari buku Matematikan karangan Sukino. Matematika (wajib) kelas X jilid 1B, halaman 186 dan nomor 2.

 
Soal :
Dalam ∆SMA, jika besar sudut SAM adalah dua kali besar sudut SMA. 

Tunjukkan bahwa s.m = a² – m².
 
Pembahasan :
 
Perhatikan,

Pertama : soal tidak memastikan jenis segitiganya. Itu meminta kita untuk berkreasi, dan kita ambil saja jenis segitiga sembarang.

Kedua : misalkan sudut SAM = α dan sudut SMA = β, 

sehingga.

Ketiga, gambarkan segitiga sembarangnya

Keempat, gunakan aturan sinus

Kelima, gunakan aturan cosinus

Subsitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (3)

Tinjau ∆SAM, 

Tinjau ∆SMA, 

Kita eliminasi persamaan (5) dengan persamaan (6), 

Hasil eliminasi di atas kita bagi dengan m. 

Maka hasil akhirnya kita peroleh,

Terbukti.

Bahan di atas dapat digunakan paling cocok untuk bahan 

berlatih untuk persiapan menghadapi OSN Matematika. 

terima kasih, 

SOAL DAN PEMBAHASAN TITIK SINGGUNG - 1

Soal : 01

Tentukan titik singgung dari dua lingkaran di bawah ini,

 

L₁ Ξ x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0

L₂ Ξ x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0

 

Pembahasan :

Lalu hasil di atas kita bagikan dengan 2, 

dan hasilnya menjadi 

Kemudian kita rubah menjadi, 

Selanjutnya nilai x yang baru kita peroleh di atas, 

kita subsitusikan ke salah satu persamaan 

lingkaran. Dalam kesempatan kali ini, 

kita mensubsitusikan nilai x ke dalam 

persamaan lingkaran L₂. 

Kemudian kita kalikan dengan 9, sehingga kita peroleh

Persamaan di atas dapat kita rubah bentuknya menjadi, 

Dan untuk medapatkan nilai x, maka nilai y 

kita subsitusikan ke dalam 

Sehingga titik singgung yang diminta adalah, 
( - 2/5 , - 1/5 ) 

PERTEMUAN - 24 MATEMATIKA MINAT XI

Irisan Dua Lingkaran

 

Irisan dua lingkaran dapat berupa dua lingkaran yang saling bersinggungan 

maupun dua lingkaran yang saling berpotongan. Dasar menguasai materi 

irisan dua lingaran, yaitu konsep sistem koordinat Polar. 

A.    Sistem Koordinat Polar

Sistem koordinat Polar merupakan syarat mutlak yang harus 

dikuasai untuk memahami irisan dua lingkaran. 

Dalam sistem koordinat Polar, kita melukis setengah lingkaran dari 

titik pusat O yang disebut titik awal (putaran), dan garis setengah 

lingkaran yang disebut sebagai garis polar. 

Titik P(r,θ) merupakan titik hasil putaran terhadap sumbu polar 

dengan aturan sesuai putaran jarum jam. Jika berlawanan arah 

jarum jam + θ. Dan jika searah dengan putaran jarum jam – θ. 

B.    Hubungan Kartesian dengan Polar 

Contoh 01 :

Ubahlah setiap koordinat polar berikut menjadi koordinat Cartesius. 

Pembahasan :

Bagian A) 

    Maka : 

       x = r cos ⁡θ

    Dan

Maka koordinat kartesiusnya ( 0, 1) 

Bagian B) 

    Maka : 

Dan 

Maka koordinat kartesiusnya 

Bagian C) 

    Maka : 

Dan 

Maka koordinat kartesiusnya 

C.  Irisan Dua Lingkaran sepusat 

    di O(0,0) dengan jari – jari r₁ dan r₂.

Perhatikan persamaan lingkaran berikut : 

    Kemungkinan yang terjadi pada irisan L₁dan L₂

dapat berupa : 

Kemungkinan luas dan keliling lingkaran irisan kedua lingkaran 

tersebut adalah sebagai berikut : 

SERI - 1 SOAL OSN TINGKAT SMP

MATERI     : OLIMPIADE SMP 

TAHUN 2019 

Selamat datang di blog saya, 

Bagi anda yang baru saja 

menemukan blog ini, saya mengucap

kan selamat datang dan bagi yang 

sudah sering mengunjungi blog ini, 

saya mengucapkan terima kasih

atas kunjungan anda. 

Pada kesempatan kali ini saya hanya 

berbagi naskah soal yang diujikan 

oleh LOPI pada tahun 2019. Untuk 

tingkatan SMP, sedangkan untuk 

tingkatan SMA, postingannya berbeda. 

Jika berkenan untuk saya berikan 

pembahasannya, mohon follow blog 

saya dan sudi kiranya bertinggal 

komentar. 

Akhir kata saya mengucapkan selamat

belajar dan terus tetap semangat. 

PERTEMUAN - 25 MATEMATIKA MINAT KELAS XI

D.  Hubungan irisan 

Dua Lingkaran sepusat 

di O(0,0) dengan jari – jari 

r₁ dan r₂ dalam sistem 

koordinat polar.

 

Dengan menggunakan hubungan 

antara sumbu koordinat polar dan 

cartesius seperti gambar di bawah 

ini (gambar 1). 

Perhatikan titik P (2, 5π/4  ) berada 

pada lingkaran yang berjari – jari 2 

satuan dengan pusat O (0,0) dan 

lingkaran kecil berpusat di O(0,0) 

dengan jari – jari 1 satuan. 

Hal yang sama dapat kita gambarkan 

untuk 3 lingkaran atau lebih dengan 

pusat yang sepusat pada titik O(0,0). 

Perhatikan gambar di bawah ini, 

untuk 3 lingkaran yang sepusat. 

Pembahasan : 

Bagian a) 

Kiri kanan kalikan dengan r,  

Subsitusikan persamaan (1)

ke dalam persamaan (2 ) : 

Subsitusikan nilai x = 0 dan y = 0, 

maka kita peroleh : 

Dari persamaan (3), 

kita dapat menyimpulkan : 

Bagian b) 

Contoh 02 : 

Pembahasan :