SISTEM KOORDINAT RUANG

1. SUMBU – SUMBU KOORDINAT 

Sumbu OX

Sumbu x positif dibuat frontal horizontal dari titik pangkal 0 ke arah kanan. 

Sumbu OY 

Sumbu y positif tegak lurus OX dari 0 arah ke belakang. Bidang XOY orthogonal horizontal. Satuan jarak pada garis OY harus lebih pendek dari satuan pada OX. 

Sumbu OZ 

Tegak lurus pada bidang XOY. Satuan jarak pada sumbu OZ sama dengan satuan pada sumbu OX. Bidang YOZ ortogonal vertikal 

2. LETAK TITIK – TITIK DALAM RUANG 

Dengan adanya sumbu – sumbu koordinat ruang, maka letak suatu titik dalam ruang dapat ditentukan oleh tiga komponen, yaitu : komponen x dari titik itu yang disebut dengan absis, komponen y dari titik itu disebut ordinat dan komponen z dari titik itu disebut aplikat. 

Misalkan titik P(2,3,4) dalam ruang tiga dimensi dapat ditentukan, seperti yang ditunjukkan gambar berikut ini. 

Maka panjang diagonal ruang OP, 

3. JARAK ANTARA DUA TITIK DI DALAM RUANG 

Contoh 03: 

Hitunglah jarak antara titik P(2,3,4) dan titik Q(2 ,– 3, – 4) yang terletak pada suatu ruang tiga dimensi. 

Penyelesaian : 

4. PRISMA 

1. PENGERTIAN PRISMA 

Prisma adalah suatu bangun benda ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar ( bidang alas dan bidang atas ) dan bidang – bidang tegak dengan rusuk – rusuk tegak yang sejajar. 

Pada gambar di atas, prisma ABCDEF.PQRSTU adalah sebuah prisma miring, sebab rusuk – rusuk tegaknya sejajar satu sama lainnya tetapi tidak tegak lurus pada bidang alas. 

Prisma yang alasnya berbentuk segitiga disebut prisma segitiga, prisma yang alasnya segi empat disebut prisma segi empat dan seterusnya segi – n disebut prisma segi – n. 

Berikut beberapa contoh prisma 

2. DIAGONAL DAN BIDANG DIAGONAL 

Perhatikan gambar 5c, ruas garis – ruas garis yang menghubungkan dua buah titik sudut pada sisi alas yang tidak bersisian misalnya A dengan C, A dengan D, dan seterusnya disebut diagonal alas. Jadi diagonal – diagonal alas adalah AC, AD, BD, BE, dan seterusnya.Demikian pula untuk gambar 5a dan gambar 5b.

Pada gambar 5c, bidang – bidang yang memuat diagonal alas dan diagonal atasnya yang bersesuaian, misalnya bidang ACHF, bidang ADIF, dan seterusnya disebut bidang diagonal. 

Ruas garis – ruas garis yang menghubungkan titik – titik sudut pada alas dan titik – titik sudut lainnya pada bidang atas yang tida bersisian disebut diagonal ruang. 

Pada gambar 5c, diagonal – diagonal ruangnya adalah AH, AI, BI, BJ, dan seterusnya 

3. SISI TEGAK PRISMA 

Perhatikan, bahwa tiap sisi tegak prisma miring berbentuk jajaran genjang dan pada prisma tegak, sisi tegaknya berbentuk empat persegi panjang. Banyak sisi tegak sama dengan banyaknya rusuk alas, yaitu pada prisma segitiga terdapat 3 buah sisi tegak, pada prisma segi empat terdapat 4 buah sisi tegaknya demikian seterusnya. 

Irisan siku – siku (irisan melintang) pada prisma adalah irisan prisma tersebut dengan suatu bidang yang tegak lurus pada rusuk – rusuk tegaknya. Pada prisma tegak, irisan siku – sikunya telah nampak pada gambar bangun tersebut, yaitu alasnya atau sisi atasnya sendiri. 

Prisma terpancung adalah prisma yang bagian atasnya terpotong oleh suatu bidang yang tidak sejajar dengan bidang alas, sehingga terdapat : sisi atas prisma terpancung tidak sejajar dengan sisi alas. 

4. SIFAT – SIFAT PRISMA 

Berikut beberapa sifat – sifat prisma : 

1. Banyaknya sisi pada prisma segi – n adalah ( n + 2 ) buah, yaitu n buah sisi tegak dan 2 buah sisi alas dan sisi atas. 

2. Setiap sisi tegaknya berupa jajaran genjang dan pada prisma tegak, setiap sisi tegaknya berupa empat persegi panjang. 

3. Sisi alas dan sisi atasnya sama dan sebangun

4. Panjang semua rusuk tegaknya sama 

5. Banyaknya diagonal alas pada prisma segi – n adalah :

   
   dan banyaknya bidang diagonal juga sebanyak
   

6. Semua bidang diagonalnya berbentuk jajaran genjang dan pada prisma tegak, berbentuk empat persegi panjang. 

7. Banyaknya diagonal ruang dalam prisma segi – n adalah

   
   
    

5. LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME PRISMA 

Luas seluruh permukaan prisma = luas alas + luas sisi atas + luas selubung prisma. 

Luas selubung prisma = keliling irisan siku – siku x panjang rusuk tegak. 

Pada prisma tegak, irisan siku- sikunya adalah sisi alasnya atau sisi atasnya dan panjang rusuk tegak = tinggi prisma. 

Volume prisma = luas irisan siku – siku x panjang rusuk tegak. 

Contoh : 

Hitunglah luas permukaan serta volume prisma tegak segi – 6 beraturan yang panjang rusuk – rusuk alasnya 8 cm dan rusuk tegaknya 12 cm. 

Pembahasan : 

Sekarang kita tinjau irisan siku – sikunya (alas prisma) : 

Alas prisma terdiri atas 6 segitiga sama sisi yang panjang sisinya 8 cm,

Maka akan kita peroleh tinggi tiap segitiga, t : 

Kemudian, luas tiap sebuah segitiga, A : 

Maka luas prisma segi – 6 menjadi, 

Untuk luas selubung, LTot : 

Sehingga luas permukaan prisma segi – 6 menjadi, 

Sementara itu, untuk menghitung volume prisma, V : 

6. JARING – JARING PRISMA 

Jaring – jaring prisma adalah rebahan (hamparan) dari sisi – sisi tegak serta sisi atas prisma tersebut terhadap bidang alas prisma. Setelah kita sayat – sayat rusuk tegaknya serta rusuk atasnya terhadap alas prisma. Berikut kita akan membahas jaring – jaring sebuah prisma segitiga sama kaki. 

Gambarlah jaring – jaring prisma segitiga tegak ABC.DEF. Jika : 

1. Kita sayat rusuk – rusuknya secara berurutan dimulai dari AD, BE, CF, dan DE. 

2. Kita sayat rusuk – rusuknya secara berurutan dimulai dari AB, BC, DE, EF, dan BE.

Pembahasan bagian a) 

Pembahasan bagian b) 

5. BALOK 

1. PENGERTIAN BALOK 

Balok adalah suatu bangun prisma tegak segi empat yang alasnya berbentuk empat persegi panjang. Perhatikan gambar di bawah ini, sebuah balok ABCD.EFGH. 

Terlihat tiga himpunan rusuk yang sejajar dan sama panjang, 

Yaitu : 

1. AB, DC, EF dan HG 

2. AD, BC, EH dan FG

3. AE, BF, CG dan DH 

Jadi terdapat semuanya 12 buah rusuk

Sisi alasnya ada 6 buah, yaitu sisi alas, sisi atas, dan 4 buah sisi tegaknya. 

Sehingga bangun balok memenuhi rumus Euler : 

Dimana, 

S = banyak sisi 

T = banyaknya titik sudut ( pojok )

R = banyaknya rusuk 

2. LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BALOK 

Luas permukaan balok = luas alas + luas sisi atas + luas selubung 

Luas permukaan balok = 2.p.l + 2.p.t + 2.l.t 

Keterangan : 

Panjang = p 

Lebar = l 

Tinggi = t 

Volume balok, V = p x l x t 

Contoh : 

Suatu bejana tanpa tutup terbuat dari plat besi berbentuk balok dengan panjang 2m, lebar 1,5m dan tinggi 1,8m . 

1. Jika bejana itu harus dicat luar dalam, maka berapa luas permukaan yang harus dicat. 

2. Jika bejana tersebut berisi air dengan volume 5.000 liter, berapa ketinggian air dalam bejana tersebut. 

Pembahasan : 

Bagian a) luas permukaan yang harus dicat (luar – dalam) 

Bagian b) tinggi permukaan air dalam bejana

3. JARING – JARING BALOK 

Seperti jaring – jaring prisma yang telah kita bahas pada pembelajaran sebelumnya. Jaring – jaring balok pun dapat dibuat dengan beberapa cara menurut sayatan rusuk – rusuk yang diminta. 

Jika kita sayat secara berurutan mulai dari, rusuk AE, BF, CG, DH, EF, EH, dan FG. Akan kita peroleh jaring – jaring seperti di bawah.

Jika kita sayat rusuk – rusuk secara berurutan AE, BF, CG, DH, EF, EH, dan HG akan diperoleh jaring – jaring. 

6. KUBUS 

1. PENGERTIAN KUBUS 

Kubus adalah bangun balok prisma segi empat yang tegak dan semua rusuknya sama panjang. 

Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH semua sisinya sama, maka diagonal sisi – sisinya sama panjang dan berpotongan di tengah – tengah. 

2. LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME KUBUS 

Luas permukaan kubus : 

Oleh karena semua sisi kubus kongruen ( sama dan sebangun ), masing – masing berbentuk bujur sangkar, jika panjang rusuknya adalah a satuan panjang. 

luas Permukaan kubus=6a^2

Volume kubus : 

Panjang, lebar, dan tinggi kubus adalah sama panjang.

Vol= a^3

3. JARING – JARING KUBUS 

Kita juga dapat membuat gambar jaring – jaring kubus dengan beberapa cara, misalnya. 

Jika kita sayat – sayat rusuk kubus secara berurutan, mulai dari AB, AE, BF, CG, DH, EH, dan FG

Jika kita sayat – sayat rusuk kubus secara berurutan, mulai dari AE, BF, CG, DH, EF, EH, dan HG. Maka bentuk jaring – jaring kubusnya sebagai berikut. 

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Suatu benda berbentuk kubus digambar dengan skala 1 : 10. Rusuk – rusuk kubus itu panjangnya 6 dm. Rusuk yang tergambar ortogonal dibuat dengan sudut simpang 45° dan perbandingan ortogonal ¾. Panjang rusuk itu dalam gambar. 

Kunci : C

Pembahasan : 

Panjang rusuk, a = 6 dm = 60 cm

Panjang rusuk dalam gambar ( skala 1 : 10 )

Perbandingan ortogonal ¾, maka panjang rusuk ortogonal, 

Catatan : 

Sudut tidak mempengaruhi perhitungan panjang rusuk 

2. Ke dalam suatu bejana berbentuk prisma segi – 6 beraturan dimasukkan air sebanyak 5 liter. Jika rusuk – rusuk atas prisma itu panjangnya 20 cm, maka tinggi air dalam bejana. 

1. 2,4 cm 

2. 4,8 cm 

3. 15 cm 

4. 20 cm 

5. 25 cm

Kunci : B

Pembahasan : 

Luas 1 buah segitiga sama sisinya, A1 : 

Luas alas prisma segi – 6, ATot : 

Dari soal volume cairan, V = 5 liter = 5000 cm3. 

Vol=luas alas prisma x tinggi cairan

3. Sebuah kotak berbentuk balok dengan volume 240 cm3. Panjang alasnya 8 cm dan lebar 6 cm. Maka panjang diagonal ruang kotak. 

1. 52 cm

2. 53 cm

3. 55 cm

4. 10 cm

5. 13 cm

Kunci : C

Pembahasan : 

Hitung terlebih dahulu tinggi balok, 

Maka panjang diagonal ruang,