SERI 1 : Menyusun Persamaan Kuadrat

Matematika

Tahun Pelajaran      : 2023 / 2024

Semester                 : II (Dua)

Kelas                      : X – SMA

Kurikulum              : Merdeka

Materi Ajar             : Persamaan Kuadrat 1

 

Daftar Isi

1.  Materi

2.  Contoh soal Pengantar

3.  Latihan

 

Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika akar – akar x₁ dan x₂ diketahui, dapat kita susun sebuah persamaan kuadrat sesuai bentuk umumnya ax² + bx + c = 0.

Jadi persamaan kuadrat dapat disusun dari perkalian dan penjumlahan akar – akarnya.

 

Contoh soal Pengantar

 

Contoh : 1

Susunlah suatu persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian dan penjumlahan akar – akarnya.

a.  3 dan 8

b.  – 8 dan 5

c.   – 3/2 dan ½

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

Akar x₁ = 3 dan x₂ = 8 untuk penjumlahan akar - akarnya. 

Untuk perkalian akar – akarnya

Maka PK yang terbentuk x² – 11x + 24 = 0

 

Bagian b)

Akar x₁ = – 8 dan x₂ = 5 untuk penjumlahan akar – akarnya.

Untuk perkalian akar – akarnya

Maka PK yang terbentuk x² + 3x – 40  = 0

Bagian c) 

Akar x₁ = – 3/2 dan x₂ = ½

Untuk penjumlahan akar – akarnya.

Untuk perkalian akar – akarnya

Maka PK yang terbentuk x² – x – ¾ =0 , selanjutnya kita kalikan dengan 4. 

Sehingga PK – nya akan berubah menjadi 4x² – 4x – 3 = 0.

Contoh : 2

Susunlah suatu persamaan kuadrat dengan menggunakan jumlah dan hasil kali akar – akar jika diketahui akar persamaan kuadrat di bawah ini.

a. – 2 dan 7

b.    3 dan 8

c.   1/3 dan ½

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

 

ó x₁ + x₂ = – 2 + 7 = 5 dan x₁.x₂ = (– 2).7 = – 14

ó x² – (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

ó x² – 5x – 14 = 0

 

Bagian b)

 

ó x₁ + x₂ = 3 + 8 = 11 dan x₁.x₂ = (3).8 = 24

ó x² – (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

ó x² – 11x + 24 = 0

 

Bagian c)

 

ó x₁ + x₂ = (1/3) + (1/2) = 5/6  

    dan x₁.x₂ = (1/3 ).1/2 = 1/6

ó x² – (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

ó x² – 5/6x + 1/6 = 0  dan kita kalikan dengan 6

ó 6x² – 5x + 1 = 0

 

 

Contoh : 3

Susunlah persamaan kuadrat baru, yang akar – akar nya tiga kali akar persamaan x² – 5x + 10 = 0.

 

Pembahasan :

 

PK pertama, x² – 5x + 10 = 0 memiliki akar – akar x₁ dan x_2. 

Untuk PK kedua, misalkan α = 3x₁ dan β = 3x₂.

Maka persamaan kuadrat kedua atau persamaan yang baru adalah x² – 15x + 90 = 0.

 

 

Contoh : 4

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya dua lebihnya dari akar – akar persamaan 2x² + 4x + 3 = 0.

 

Pembahasan :

 

Persamaan kuadrat 1, 2x² + 4x + 3 = 0

 

 

Akar persamaan kuadrat kedua, α = x₁ + 2 dan β = x₂ + 2. Maka persamaan kuadrat kedua akan menjadi.

Maka PK yang baru 2x² – 4x + 3 = 0

 

Latihan :

 

1.     Diketahui α dan β adalah akar – akar persamaan 

     kuadrat ax² + bx + c = 0 dan a ≠ 0, 

        α + β = - 1/3 dan αβ = 3/4 . 

     Rumus persamaan kuadrat itu adalah …

A.  12x² + 4x + 9 = 0

B.  12x² – 4x + 9 = 0

C.  12x² + 4x – 6  = 0

D. 12x² + 4x + 6 = 0

E.  12x² + 4x – 9 = 0

 

2.       Persamaan kuadrat yang akar – akarnya – 2/3 dan 

      5/2 adalah …

A.  6x² – 11x + 30 = 0

B.  6x² – 11x – 15  = 0

C.  6x² – 11x – 10  = 0

D. 6x² + 11x – 7  = 0

E.  6x² + 11x + 10 = 0