Aljabar Pada Fungsi

Daftar Isi

1.      Operasi Aljabar Pada Fungsi

2.      Fungsi Komposisi

3.      Sifat – Sifat Operasi Fungsi Komposisi

4.      Latihan  

BACA JUGA  : UH 1 MATEMATIKA (W) KELAS XI MIPA 3

  

Operasi Aljabar Pada Fungsi

 

Jika f suatu fungsi dengan daerah asal D_f dan g suatu fungsi dengan daerah asal D_g, maka operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut :

 

1.  Jumlah f dan g ditulis f + g didefenisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D_{f + g} = D_f Ո D_g.

2.  Selisih f dan g ditulis f – g didefenisikan sebagai (f – g)(x) = f(x) – g(x) dengan daerah asal D_{f – g} = D_f Ո D_g.

3.  Perkalian f dan g ditulis f x g didefenisikan sebagai (f x g)(x) = f(x) x g(x) dengan daerah asal D_{f x g} = D_f Ո D_g.

4.  Pembagian f dan g ditulis f/g didefenisikan sebagai (f/g)(x) = f(x)/g(x) dengan daerah asal D_f/g = D_f Ո D_g – {x|g(x)=0}.

 

Contoh : 1

Diketahui fungsi f(x) = x + 3 adalah D_f = {x|x ∊ R } dan g(x) = x² – 9 adalah D_g = {x|x ∊ R }. Tentukanlah fungsi – fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.

a)  (f + g)

b) (f – g)

c)  (f x g)

d) (f : g)

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

 

ó (f + g) = f(x) + g(x)

               = (x + 3) + (x² – 9)

               = x² + x + 3 – 9

               = x² + x – 6

 

Maka daerah asal fungsi (f + g)(x) adalah

 

ó D_{f + g} = D_f Ո D_g

            = {x|x ∊ R} Ո {x|x ∊ R}

            = {x|x ∊ R}

Bagian b)

 

ó (f – g) = f(x) – g(x)

              = (x + 3) – (x² – 9)

              = - x² + x + 3 – (- 9)

              = - x² + x + 12

Maka daerah asal fungsi (f – g)(x) adalah

 

ó D_{f - g} = D_f Ո D_g

            = {x|x ∊ R} Ո {x|x ∊ R}

            = {x|x ∊ R}

 

Bagian c)

 

ó (f . g)(x) = f(x).g(x)

                  = (x + 3).(x² – 9)

                  = x³ – 9x + 3x² – 27

                  = x³ + 3x² – 9x – 27

 

Maka daerah asal fungsi (f.g)(x) adalah

 

ó D_f.g = D_f Ո D_g

          = {x|x ∊ R} Ո {x|x ∊ R}

          = {x|x ∊ R}

 

Bagian d)

Maka daerah asal fungsi

Fungsi Komposisi

 

Bila f dan g fungsi serta R_f Ո D_f ≠ Ø, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian D_f ke himpunan bagian R_g yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis g₀f) yang ditentukan dengan

daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah D_g⁰f = {x ∊ D_f | f(x) ∊ D_g } dengan

D_f = daerah asal (domain) fungsi f

D_g = daerah asal (domain) fungsi g

R_f = daerah hasil (range) fungsi f

R_g = daerah hasil (range) fungsi g

 

Contoh : 2

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² – 1. Tentukanlah fungsi komposisi (f_⁰g)(x) dan (g_⁰f)(x).

 

Pembahasan :  

 

Untuk komposisi (f₀g)(x),

 

(f₀g)(x) = f(g(x))

            = 2x + 1

            = 2(x² – 1) + 1  

            = 2x² – 2 + 1  

            = 2x² – 1

 

Untuk komposisi (g₀f)(x),

 

(g₀f)(x) = g(f(x))

            = x² + 1

            = (2x + 1)² – 1

            = 4x² + 4x + 1 – 1 

            = 4x² + 4x 

 

 

Contoh : 3

Diketahui fungsi komposisi (g₀f)(x) = 18x² + 24x + 2 dan fungsi g(x) = 2x² – 6. Tentukanlah rumus untuk fungsi berikut.

a)   Fungsi f(x)

b)   Fungsi komposisi (f₀g)(x)

 

Pembahasan : 

Bagian a)

 

ó (g₀f(x))(x) = g(f(x))

ó (g₀f(x))(x) = 2(f(x))² – 6

ó 18x² + 24x + 2 = 2(f(x))² – 6

ó 18x² + 24x + 8 = 2(f(x))²

ó                 f(x)² = 9x² + 12x + 4

ó                 f(x)  = ±(3x + 2)

 

Sehingga fungsi f(x) = (3x + 2) atau – (3x + 2)

 

Bagian b)

 

Untuk f(x) = (3x + 2) maka (f₀g)(x) :

ó (f₀g)(x) = f(g(x))

ó (f₀g)(x) = 3x + 2

ó             = 3(g(x)) + 2

ó             = 3(2x² – 6) + 2

ó             = 6x² – 18 + 2

ó             = 6x² – 16

 

Untuk f(x) = - (3x + 2) maka (f₀g)(x) :

ó (f₀g)(x) = - (3(2x² – 6) - 2

ó (f₀g)(x) = - (6x² – 18) - 2

ó             = - 6x² + 18 - 2

ó             = - 6x² + 16

 

 

Sifat – Sifat Operasi Fungsi Komposisi

1.  Pada umumnya sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak

    berlaku, yaitu g₀f ≠ f₀g.

2.  Sifat Asosiatif berlaku pada operasi fungsi komposisi f₀(g₀h) =

    (f₀g)₀h.

3.  Berlaku sifat identitas f₀I = I₀f

 

Contoh : 4

Diketahui fungsi f(x) = 4x + 3 dan g(x) = x – 1. Buktikan (g₀f)(x) = (f₀g)(x).

Pembahasan :

Komposisi (g₀f)(x)

ó (g₀f)(x) = g(f(x))

ó             = x – 1

ó             = (4x + 3) – 1

ó             = 4x + 2

Komposisi (f₀g)(x)

ó (f₀g)(x) = f(g(x))

ó             = 4x + 3

ó             = 4(x – 1) + 3

ó             = 4x – 4 + 3

ó             = 4x – 1

Kesimpulan, (g₀f)(x) ≠ (f₀g)(x)  

 

Latihan (PR)

 

1.   Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua menggunakan mesin II yang menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f(x) = 6x – 10 dan mesin II mengikuti fungsi g(x) = x² + 12, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton. Berapakah kertas yang dihasilkan ? (dalam satuan ton).

 

2.   Misalkan fungsi f(x) = x² – 4x + 2 dan fungsi g(x) = 3x – 7. Tentukanlah :

a)  (g₀f)(x)  

b) (f₀g)(x)

c)  (g₀f)(5)

d) (f₀g)(10)

 

3.   Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,5), (2,6), (3,– 1), (4,8)} dan g = {(2,– 1), (1,2), (5,3),(6,7)}. Tentukanlah :

a)  (g₀f)

b) (f₀g)

 

4.   Jika fungsi f memenuhi persamaan f(1) = 4 dan f(x + 1) = 2f(x). Tentukanlah f(2014).

 

5.   Diketahui (g₀f)(x) = 4x² + 4x dan g(x) = x² – 1. Tentukanlah nilai f(x – 2).