KOMPETENSI 2 PYTHAGORAS

Tahun Pembelajaran : 2023 / 2024

Semester                 : II (Dua)

Pelajaran                 : Matematika

Kelas                       : VIII – SMP/MTs

Buku                       : Interaktif Matematika

Pokok Bahasan         : Aplikasi Teorema Pythagoras

 

Daftar Isi :

1.  Teori Penggunaan Teorema Pythagoras

2.  Contoh soal

3.  Uji kompetensi

 

Teori Penggunaan Teorema Pythagoras

 

1. Jarak antara dua titik pada bidang koordinat

 

Titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂), jarak AB atau panjang batang AB dapat dihitung menggunakan rumus pythagoras.

 

 

 

2. Panjang diagonal persegi dan persegi panjang

 

   

 

Panjang diagonal pada persegi,

 

Panjang diagonal pada persegi panjang,

 

 

3. Panjang diagonal sisi dan ruang Kubus

 

 

 

 

Garis BD disebut sebagai diagonal sisi dan garis HB sebagai diagonal ruang. Dan panjang diagonal ruang dapat dirumuskan,

 

Balok

 

 

Garis AG merupakan diagonal ruang pada balok dan besarnya.

 

 Contoh soal

 

Contoh : 1

Tentukan jarak antara dua titik berikut :

a.  Titik B(4,8) dan C(10,16)

b.  Titik K(6,– 4) dan L(1,8)

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

 

Bagian b)

 

Contoh : 2

Perhatikan gambar berikut.

 

 

Persegi panjang ABCD mempunyai panjang AF = 15 cm, FB = 1 cm, dan BD = 20 cm. Jika perbandingan AE : DE = 2 : 1, tentukan keliling segitiga AEF.

 

Pembahasan :

 

 

Langkah pertama, Tentukan panjang AB,

AB = AF + FB

AB = 15 + 1 = 16 cm

 

Langkah kedua, buat faktor pengali x pada 

perbandingan antara AE dengan DE.

 

AE : DE = 2 : 1

AE : DE = 2x : x

 

Sehingga panjang AD = AE + DE = 3x

 

Langkah ketiga, gunakan pythagoras untuk mencari panjang AE.

 

Kuadratkan sisi kanan dan kiri agar akarnya hilang.

 

Maka panjang AD = 3x

AD = AE + DE

12 = 2x + x

12 = 3x

  x = 12/3

  x = 4 

 

dan panjang AE = 2x = 2(4) = 8 cm

 

langkah keempat, menentukan sisi miring segitiga 

AEF.

Langkah kelima, merupakan langkah terakhir 

yakni menentukan nilai keliling segita AEF.

 

Kell = AE + AF + EF

Kell = 8 cm + 15 cm + 17 cm

Kell = 40 cm

 

Contoh : 3

Perhatikan gambar berikut.

 

 

  

Berapakah luas bidang ABGH.

 

Pembahasan

 

Bidang BCGF sejajar dengan bidang ADHE (BCGF // ADHE). Sehingga diagonal sisi AH // BG, dan nantinya cukup kita menghitung satu diagonal sisi saja AH atau BG.

Langkah pertama, tentukan diagonal sisi BG.

 

Langkah kedua, merupakan langkah terakhir yakni menentukan luas bidang ABGH.

 

Uji Kompetensi : 2

 

Pilihan Berganda

 

1.     Diketahui koordinat titik K(2, 7) dan L(b, - 5). Jika jarak antara titik K dan L, yaitu 13 satuan, nilai b yang memenuhi adalah …

a.  6               c. – 3

b.  3               d. – 7

 

Pembahasan

 

Kunci : tidak ada jawaban

  

2.     Pasangan titik berikut yang berjarak 11 satuan adalah …

a.  (1, 2) dan (4, 2)

b.  ( - 1, 2) dan (4, 6)

c.   (3, - 2) dan (0, 2)

d.  (2, - 3) dan (2, 8)

 

Pembahasan

 

Langkah pertama, buat permisalan dua titik A dan B yang memiliki koordinat titik A(A_x, A_y) dan B(B_x, B_y).

 

Langkah kedua, coba – coba beberapa titik dengan menggunakan (11)² = 121. Dari opsi yang tersedia terdapat opsi b atau d. Dan opsi yang paling mendekati adalah d.

 

Langkah ketiga, merupakan langkah terakhir.

 

Ruas kiri dan kanan sudah sama, berarti opsi d benar.

 

Kunci : d

 

3.     Perhatikan persegi berikut.

 

  

Panjang diagonal KM adalah …

a.  15√2 cm

b.  15√3 cm

c.   30√2 cm

d.  30√3 cm

 

Pembahasan

 

Rumus untuk mencari diagonal pada sebuah persegi s√2. Dari data soal sisi persegi s = 15 cm. Maka diagonal persegi :

 

Kunci : a.

 

4.     Perhatikan persegi panjang berikut.

 

 

 

Panjang diagonal AC adalah …

a.  20 cm

b.  21 cm

c.   25 cm

d.  28 cm

 

Pembahasan

 

Kunci : a

 

5.     Perhatikan balok berikut.

 

 

panjang diagonal sisi DG adalah …

a.  13 cm

b.  15 cm

c.   17 cm

d.  19 cm

 

Pembahasan

 

 

 

Panjang diagonal sisi DG :

 

Kunci : b

 

6.     Perhatikan gambar balok berikut

 

 

Panjang diagonal ruang CE adalah …

a.  48 cm

b.  46 cm

c.   41 cm

d.  40 cm

 

 

Pembahasan

 

Untuk menentukan panjang diagonal CE :

 

Kunci : c

 

7.     Perhatikan balok berikut

 

 

 

Luas bidang diagonal BDHF adalah … cm².

a.  180

b.  240

c.   320

d.  360

 

Pembahasan

 

Langkah pertama, kita menghitung diagonal BD atau HF. Dimana BD = HF, maka kita hitung terlebih dahulu.

 

 

 

Langkah kedua,

 

Kunci : a

 

8.     Andi bersepeda dari rumahnya ke rumah Dimas. Andi mengambil lintasan ke arah Utara sejauh 100 meter, lalu ke arah Barat sejauh 160 meter, selanjutnya ke arah Selatan sejauh 220 meter. Jarak antara rumah Andi dan Dimas adalah …

a.  200 meter

b.  280 meter

c.   360 meter

d.  480 meter

 

Pembahasan

 

 

 

PQ dan RS sejajar (PQ//RS), maka ST :

 

Maka jarak PT,

 

Kunci : a

 

9.     Sebuah bak mandi pada bagian dalam berukuran 120 cm x 90 cm x 80 cm. Bak tersebut selanjutnya diisi air hingga penuh. Setelah terisi penuh, sebuah kawat lurus dicelupkan ke dalam bak tersebut. Panjang maksimal kawat yang dapat dicelupkan adalah …

a.  120 cm

b.  150 cm

c.   170 cm

d.  190 cm

 

Pembahasan

 

Kawat lurus agar dapat mencapai panjang maksimum, maka kawat dicelupkan membentuk diagonal ruang pada bak.

 

 

 

 

Panjang kawat maksimum, L_max :

 

Kunci : c

 

10. Perhatikan gambar berikut.

 

 

Sebuah tiang antena akan diberi dua kawat penyangga agar tidak roboh. Jarak antara kaki tiang dan kedua kaki penyangga sejauh 8 meter. Ujung kawat pertama terletak 6 meter dari permukaan tanah dan ujung kawat kedua berjarak 9 meter. Panjang kawat keseluruhan yang diperlukan adalah ….

a.  10 meter

b.  17 meter

c.   23 meter

d.  27 meter

 

Pembahasan

 

 

Tinjau ∆ABC :

 

Tinjau ∆ ABD :

 

Maka panjang kawat yang dibutuhkan,

ó BC + BD

ó 10 m + 17 m

ó 27 m

 

Kunci : d

 

 

Uraian

 

1.  Diketahui segitiga PQR  siku – siku di R, koordinat titik P(2, 10), Q(2, - 15), dan R(14, 1). Tentukan luas segitiga PQR.

 

Pembahasan

 

Panjang PQ :

 

Panjang QR :

 

Panjang RP :

 

Maka luas segitiga PQR

 

2.  Andi bersepeda ke arah Utara sejauh 140 meter, lalu ia berbelok ke arah Timur sejauh 480 meter. Berapa meter jarak Andi sekarang dari titik semula.

 

Pembahasan

 

3.  Sebuah kapal laut berlayar dari pelabuhan ke arah Timur sejauh 105 mil laut. Kapal tersebut berbelok ke arah Selatan sejauh 70 mil laut, lalu berbelok lagi ke arah Timur sejauh 135 mil laut. Berapa mil jarak antara kapal dan pelabuhan sekarang.

 

Pembahasan

 

 

 

Jumlahkan perjalanan kapal ke Timur,

 

ó (105 + 135) mil

ó 240 mil laut

 

 

Jumlah perjalanan kapal ke Selatan, kebetulan hanya ada 70 mil laut saja.

 

Maka jarak kapal dari pelabuhan :

 

4.  Perhatikan susunan lampu lalu lintas berikut

 

 

Tiang pertama mempunyai panjang 600 cm dipasang secara vertikal. Tiang kedua mempunyai panjang 240 cm dipasang secara horizontal. Dari bagian lampu dikaitkan dengan tali baja dengan panjang 260 cm. Berapakah tinggi lampu dari permukaan tanah.

 

Pembahasan

 

 

 

Mari kita hitung terlebih dahulu nilai y :

 

 

Maka tinggi lampu dari permukaan tanah

ó 600 cm – 100 cm

ó 500 cm

 

5.  Seorang pengamat berada di atas mercusuar yang tingginya 12 m. Ia melihat perahu A dan perahu B yang berlayar di laut. Jarak pengamat dengan perahu A dan perahu B berturut – turut 20 meter dan 13 meter. Posisi perahu A, perahu B dan kaki mercusuar terletak segaris. Berapakah jarak antara perahu A dan perahu B ?

 

Pembahasan

 

 

Kita buat sketsanya d bawah ini.

 

 

 

Panjang CB :

 

Panjang CA :

 

Maka jarak perahu B ke perahu A

ó 16 m – 5 m

ó 11 m