SERI OSN : BOLA JATUH MEMANTUL BERULANG KALI

Soal : OSP 2009
Sebuah bola pada ketinggian h dari permukaan ditembakkan secara horizontal dengan kecepatan v₀. Bola mengenai lantai dan memantul kembali. Proses tumbukkan tersebut berlangsung elastik sebagian dengan koefisien restitusi e. Bola akan terus memantul berkali – kali sampai akhirnya tidak dapat memantul lagi. Tentukan kapan (T) ini terjadi. Berapakah jarak horizontal L yang ditempuh bola sampai keadaan ini? (catatan : percepatan gravitasi bumi adalah g. Anggap bola merupakan massa titik, gesekkan udara dan gesekan dengan lantai diabaikan).
 
Pembahasan :
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tinjau gerak bola dari ketinggian h menuju titik jatuh A.

Gerak bola pada sumbu X merupakan gerak GLB sehingga v_0x = v₀ dan besarnya selalu tetap. Sementara gerak bola pada sumbu Y merupakan GLBB dengan v_0y = 0 dan percepatan a_y = – g m/s². Dan waktu menurun membutuhkan waktu t_0A =t.

 

Kecepatan bola tiba di A pada sumbu Y,

 

Tinjau tumbukan antara bola dengan lantai, perhatikan saat terjadi tumbukan. Kecepatan berarah normal terhadap lantai saja yang berubah.

 

Sebelum dan sesudah tumbukan, kecepatan lantai v_yLantai tidak bergerak (v’_yLantai = v_yLantai = 0).

 

Substitusikan nilai v_yBola  dari pers (2) ke dalam pers (3).

Dimana v’_yBola = v’_Ay = e√2gh dan dengan mengingat sifat simetris parabola, maka dapat mengeneralkan semuanya terhadap semua titik – titik yang dilalui bola.

 

Mari kita hitung t_AB dan t_BC :

 

Untuk t_AB :

 

Untuk t_BC :

 

 

Dan seterusnya

Sehingga total waktu T :

 

 

Perhatikan 2e + 2e² + … merupakan bentuk deret Geometri dengan suku pertama U₁ = a = 2e dan rasionya r = e, sehingga dapat kita peroleh bentuk deret geometrinya sbb :

 

 

Jadi total waktunya T :

Jarak horizontal yang ditempuh L :