SERI : 129 PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan garis singgung lingkaran 

x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7,– 5) adalah …

A.  4x – 3y = 43

B.  4x + 3y = 23

C.  4x – 5y = 53

D.  10x + 3y = 55

E.  3x – 4y = 41

Pembahasan : 

Pers. Lingkaran L ≡ x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0

Titik singgung (7, – 5)

Persamaan garis lurus yang menyinggung lingkaran ?

Peny :

L ≡ x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0

ó A = – 6

ó B = 4

ó C = – 12  

Kunci : A 

SERI : 128 PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x² + y² + 6x – 2y + 6 = 0 

yang tegak lurus garis 3y – 4x – 7 = 0 adalah …

A.  3x + 4y + 5 ± 10 = 0

B.  3x + 4y – 5 ± 10 = 0

C.  3x + 4y + 5 ± 5 = 0

D.  3x – 4y + 5 ± 5 = 0

E.  – 3x + 4y + 5 ± 10 = 0

Pembahasan : 12

 

Pers. Lingkaran L ≡ x² + y² + 6x – 2y + 6 = 0

Persamaan garis – 1, 3y₁ – 4x – 7 = 0

Berpotongan tegak lurus dengan persamaan garis – 2

 

Pers. Garis – 2 = … ?

 

Peny :

 

Pers. Garis – 1

ó 3y₁ – 4x – 7 = 0

ó               3y₁ = 4x + 7

ó                 y₁ = 4/3 x + 7/3

ó Gradien garis – 1, m₁ = 4/3

 

Garis – 1 berpotongan tegak lurus dengan garis – 2

ó   m₁.m₂ = – 1

ó 4/3 .m₂ = – 1

ó        m₂ = – ¾ 

 

Lingkaran x² + y² + 6x – 2y + 6 = 0

ó x² + y² + 6x – 2y + 6 = 0

ó x² + y² + 6x – 2y = – 6

ó (x + 3)² + (y – 1)² – 9 – 1 = – 6 (perlu kreativitas)

ó (x + 3)² + (y – 1)² = – 6 + 10

ó (x + 3)² + (y – 1)² = 4

ó titik pusat lingkaran, P(– 3, 1)

ó jari – jari lingkaran, r = √4 = 2

 

Maka persamaan garis singgung ke – 2 :

 

BU : y – b = m(x – a) ± r √m² + 1

Ruas kiri dan kanan kita kalikan dengan 4. 

Kunci : A 

SERI : 127 PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan garis singgung yang melalui titik A(– 2, 2) 

pada lingkaran L ≡ x² + y² – 8 = 0 membentuk sudut Ɵ 

terhadap sumbu x positip, maka nilai Ɵ = …

A.  30^o

B.  45^o

C.  90^o

D.  135^o

E.  150^o

Pembahasan : 

 

Pers. Lingkaran L ≡ x² + y² – 8 = 0 dengan titik singgung A(– 2,2) serta membentuk sudut Ɵ terhadap sumbu x positip.

Sudut Ɵ = … ?

 

Peny :

 

ó L ≡ x² + y² – 8 = 0

ó x² + y² = 8

ó r² = 8

ó r = 2√2

 

Selanjutnya kita gambarkan lingkaran yang dimaksud. 

Misalkan sudut yang dibentuk jari – jari r terhadap sumbu x negatip ά.

Yang ditanya soal adalah Ɵ (terhadap sumbu x positip)

Kunci : D 

SERI : 126 PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan garis singgung pada lingkaran 

L ≡ (x – 3)² + (y + 2)² = 16  yang sejajar garis 4x – 2y – 7 = 0 

adalah …

A.  y = 2x – 8 ± 4√5

B.  y = 2x – 8 ± √5

C.  y = 2x – 4 ± 4√5

D.  y = 2x + 4 ± 4√5

E.  y = 2x + 4 ± √5

Pembahasan : 

 

Persamaan lingkaran, L ≡ (x – 3)² + (y + 2)² = 16

Persamaan garis l , 4x – 2y – 7 = 0

Garis singgung l dan garis  k sejajar (l // k )

Maka persamaan garis k ?

 

Peny :

 

Pers. Lingkaran L ≡ (x – 3)² + (y + 2)² = 16

Dari persamaan di atas dapat disimpulkan,

Titik pusatnya P(3,– 2)

Jari – jari lingkaran, r² = 16 → r = √16 = 4 satuan

 

Garis singgung, l :

ó 4x – 2y – 7 = 0

ó               2y = 4x – 7

ó                 y = 2x – 7/2

 

Maka gradien garisnya, m_l = 2 dan kedua garis disebutkan sejajar (l // k ). 

Itu berarti  m_l = m_k = 2

BU : (y – b) = m(x – a) ± r √m² + 1

 

ó y – (– 2) = 2(x – 3) ± 4√2² + 1

ó       y + 2 = 2(x – 3) ± 4√5

ó             y = 2x – 8 ± 4√5 

 

 

Kunci : A 

SERI : 125 PERSAMAAN LINGKARAN

Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran 

L ≡ x² + y² = 4 yang bergradien 1 adalah …

A.  x + y + 2√2 = 0

B.  x + y - 2√2 = 0

C.  x - y - 2√2 = 0

D.  x - y + 2√2 = 0

E.  x - y + 4√2 = 0

Pembahasan :

 

Persamaan lingkaran L ≡ x² + y² = 4 dengan gradien garis m = 1

 

Peny :

 

x² + y² = 4 → r = √4 = 2

 

maka persamaan garis singgungnya,

 

ó y = mx ± r √m² + 1

ó y = (1).x ± 2√1² + 1

ó y = x ± 2√2

 

Sehingga bentuk persamaan garisnya kita sesuaikan dengan opsi yang tersedia.

 

ó y = x + 2√2

ó x – y + 2√2 = 0

 

Atau

 

ó y = x - 2√2

ó x – y – 2√2 = 0

 

Kunci : C

SERI : 124 PERSAMAAN LINGKARAN

8.   Garis g adalah garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² – 10 = 0 di titik A(3,-1). Garis yang melalui titik B(4, -1) dan tegak lurus garis g mempunyai persamaan …

A.  x + 3y – 1 = 0

B.  x – 3y – 7 = 0

C.  3x + y – 1 = 0

D.  x + 3y + 1 = 0

E.  x – 3y + 7 = 0

Pembahasan :

Persamaan lingkaran, L ≡ x² + y² – 10 = 0

Titik singgung A(3, – 1) dan titik singgung B(4, – 1), 

tegak lurus dengan garis g.

 

Maka persamaan garis lurus yang lain ?

 

Peny

 

Untuk titik singgung di A(3, – 1),

 

ó x₁x + y₁y = 10

ó 3x – y = 10 , gradien garis m₁ = 3

 

Berpotongan tegak lurus dengan garis ke – 2,

 

ó m₁.m₂ = – 1

ó 3.m₂ = – 1

ó m₂ = – 1/3

 

Maka persamaan garis singgung ke – 2,

 

BU : y – y_B = m₂ (x – x_B) 

Kunci : A 

SERI : 123 PERSAMAAN LINGKARAN

7.   Salah satu persamaan garis singgung melalui titik (a,– 1) pada lingkaran 

    L ≡ (x + 3)² + (y – 2)² = 25 adalah …

A.  4x + 3y – 31 = 0

B.  4x + 3y + 31 = 0

C.  4x + 3y – 7 = 0

D.  3x + 4y + 31 = 0

E.  3x – 4y – 7 = 0

Pembahasan :

 

Persamaan lingkaran, L ≡ (x + 3)² + (y – 2)² = 25

Dan titik singgungnya, (a, – 1)

Persamaan garis singgungnya ?

BU : (x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r².

Maka persamaan garis singgungnya,

ó (a – (– 3))(x – (– 3)) + ((– 1) – 2)(y – 2) = 5²

ó (a + 3)(x + 3) + (– 3)(y – 2) = 25

ó ax + 3a + 3x + 9 – 3y + 6 = 25

ó ax + 3x – 3y + 3a + 9 + 6 = 25

ó (a + 3)x – 3y + 3a + 15 = 25

ó (a + 3)x – 3y + 3a – 10 = 0

 
Agar cocok dengan opsi yang tersedia, kita sedikit melakukan oportunis.

Persamaan kita kalikan dengan minus satu (– 1).

 

ó - (a + 3)x + 3y – 3a + 10 = 0

ó - (a + 3) = 4

ó a + 3 = - 4

ó a = - 3 – 4

ó a = – 7   

 
Selanjutnya kita subsitusikan nilai a = – 7 ke dalam persaman garis

 

ó – (– 7 + 3)x + 3y – 3(– 7) + 10 = 0

ó 4x + 3y + 31 = 0

 

Kunci : B