SERI - 1 SOAL FUNGSI, KOMPOSISI, DAN FUNGSI INVERS

Pilihan Berganda

 

Soal : 1

 

Soal : 2

Bila D_f menyatakan daerah asal dan R_f daerah hasil fungsi

A.   D_f = {x|x ∊ R}, R_f = {y|y ∊ R}

B.   D_f = {x|x ∊ R, x > 0}, R_f = {y|y ∊ R, y > 0}

C.   D_f = {x|x ∊ R, x > 1}, R_f = {y|y ∊ R}

D.  D_f = {x|x ∊ R, x ≥ 1}, R_f = {y|y ∊ R, y ≥ 0}

E.   D_f = {x|x ∊ R, x ≥ 0}, R_f = {y|y ∊ R, y ≥ 0}

 

Soal : 3

Jika f(x) = 2x dan f(g(x)) = - x/2 + 1, maka g(x) = …

Soal : 4

Jika f(x) = 5^x dan g(x) = x² + 3 untuk x ≠ 0,maka f ^{– 1} (g(x²) – 3) = …

A.   5 log (x² + 3)

B.   5 log (x⁴ + 3)

C.   5 log (x⁴ - 3)

D.  5 log x

E.   2 log x

Soal : 5

 

Soal : 6

Fungsi yang mempunyai invers adalah

(1)   y = x + 1

(2)   y = x²

(3)   y = log x

(4)   y = x² – 1

Pernyataan yang benar

A.  (1), (2), dan (3)

B.  (1) dan (3)

C.  (2) dan (4)

D. Hanya (4)

E.  Semua benar

 

Soal : 7

Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0 dan g(x) = 15/x untuk x > 0. 

Dengan demikian (f ^{– 1} _o g ^{– 1} )(x) = 1 untuk x sama dengan …

A.  1

B.  3

C.  5

D. 8

E.  10

 

Soal : 8

 

 

 

 

Soal : 9

Diketahui fungsi f dan h, dengan f(x) = 10^x dan h(x) = x² + 2 untuk setiap bilangan x real. Untuk x ≠ 0 maka f ^{– 1} (h(x²) – 2) = …

A.   Log x²

B.   Log x⁴

C.   Log (x² + 2)

D.  Log (x⁴ – 2)

E.   Log (x⁴ + 2)

 

Soal : 10

Jika A = { x : x < - 1}, B dan C adalah himpunan bilangan real. Maka f : A à B dengan f(x) = - x + 1, g : B à C dengan g(x) = x² dan h = g₀f : A à C, bilangan x di A dipetakan ke 64 di C, maka x sama dengan.

A.   7

B.   8

C.   – 9

D.  – 8

E.   – 7

 

Soal : 11

Bila f : R à R ditentukan oleh f(x) = x² dan f ^{– 1} invers f, maka f ^{– 1} {(4,25)}ialah himpunan.

A.   {x| 2 ≤ x ≤ 5}

B.   {x| - 5 ≤ x < 2}

C.   {x| 2 ≤ x ≤ 5 atau – 5 ≤ x ≤ – 2}

D.  {x| – 2 < x ≤ 5}

E.   {x| 2 < x < 5}

 

Soal : 12

Jika f ^{– 1}  dan g ^{– 1} berturut – turut adalah invers fungsi f dan fungsi g dengan f(x) = x + 1 dan g(x) = 1/x, x ≠0. Maka :

(1)   (f₀f)(x) = f(f(x)) = x + 2

(2)   (f₀f ^{– 1} )(x)=f(f ^{– 1} (x)) = x

(3)   (g ^{– 1} ₀g)(x) = g ^{– 1} (g(x)) = x

(4)   (f₀g)(x) = f(g(x)) = 1/(x + 1)

 

A.  (1), (2), dan (3)

B.  (1) dan (3)

C.  (2) dan (4)

D. hanya (4)

E.  semua benar

 

 

Soal : 13

Relasi – relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p,q, r} manakah yang merupakan fungsi.

A.  (1), (2), dan (3)

B.  (1) dan (3)

C.  (2) dan (4)

D. hanya (4)

E.  semua benar

 

Soal : 14

Jika f(x) = x² – 2 dan g(x) = 2x + 1 maka komposisi f(g(x)) = …

A.  4x² – 2

B.  2x² – 3

C.  x² + 2x – 1

D. 4x² + 4x – 1

E.  4x² + 4x + 1

 

Soal : 15

 

 

Soal : 16

Diantara gambar – gambar berikut, yang kurvanya merupakan grafik dari fungsi yang punya invers.

A.  (1), (2), dan (3)

B.  (1) dan (3)

C.  (2) dan (4)

D. Hanya (4)

E.  Semua benar

 

Soal : 17

Jika f(x) = – x + 3 maka f(x²) + {f(x)}² – 2f(x) = …

A.  2x² – 6x + 4

B.  6x + 4

C.  2x² + 4x + 6

D.  – 4x + 6

E.  2x² – 4x – 6

 

 

Read More

Aljabar Pada Fungsi

Daftar Isi

1.      Operasi Aljabar Pada Fungsi

2.      Fungsi Komposisi

3.      Sifat – Sifat Operasi Fungsi Komposisi

4.      Latihan  

BACA JUGA  : UH 1 MATEMATIKA (W) KELAS XI MIPA 3

  

Operasi Aljabar Pada Fungsi

 

Jika f suatu fungsi dengan daerah asal D_f dan g suatu fungsi dengan daerah asal D_g, maka operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut :

 

1.  Jumlah f dan g ditulis f + g didefenisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D_{f + g} = D_f Ո D_g.

2.  Selisih f dan g ditulis f – g didefenisikan sebagai (f – g)(x) = f(x) – g(x) dengan daerah asal D_{f – g} = D_f Ո D_g.

3.  Perkalian f dan g ditulis f x g didefenisikan sebagai (f x g)(x) = f(x) x g(x) dengan daerah asal D_{f x g} = D_f Ո D_g.

4.  Pembagian f dan g ditulis f/g didefenisikan sebagai (f/g)(x) = f(x)/g(x) dengan daerah asal D_f/g = D_f Ո D_g – {x|g(x)=0}.

 

Contoh : 1

Diketahui fungsi f(x) = x + 3 adalah D_f = {x|x ∊ R } dan g(x) = x² – 9 adalah D_g = {x|x ∊ R }. Tentukanlah fungsi – fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.

a)  (f + g)

b) (f – g)

c)  (f x g)

d) (f : g)

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

 

ó (f + g) = f(x) + g(x)

               = (x + 3) + (x² – 9)

               = x² + x + 3 – 9

               = x² + x – 6

 

Maka daerah asal fungsi (f + g)(x) adalah

 

ó D_{f + g} = D_f Ո D_g

            = {x|x ∊ R} Ո {x|x ∊ R}

            = {x|x ∊ R}

Bagian b)

 

ó (f – g) = f(x) – g(x)

              = (x + 3) – (x² – 9)

              = - x² + x + 3 – (- 9)

              = - x² + x + 12

Maka daerah asal fungsi (f – g)(x) adalah

 

ó D_{f - g} = D_f Ո D_g

            = {x|x ∊ R} Ո {x|x ∊ R}

            = {x|x ∊ R}

 

Bagian c)

 

ó (f . g)(x) = f(x).g(x)

                  = (x + 3).(x² – 9)

                  = x³ – 9x + 3x² – 27

                  = x³ + 3x² – 9x – 27

 

Maka daerah asal fungsi (f.g)(x) adalah

 

ó D_f.g = D_f Ո D_g

          = {x|x ∊ R} Ո {x|x ∊ R}

          = {x|x ∊ R}

 

Bagian d)

Maka daerah asal fungsi

Fungsi Komposisi

 

Bila f dan g fungsi serta R_f Ո D_f ≠ Ø, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian D_f ke himpunan bagian R_g yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis g₀f) yang ditentukan dengan

daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah D_g⁰f = {x ∊ D_f | f(x) ∊ D_g } dengan

D_f = daerah asal (domain) fungsi f

D_g = daerah asal (domain) fungsi g

R_f = daerah hasil (range) fungsi f

R_g = daerah hasil (range) fungsi g

 

Contoh : 2

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² – 1. Tentukanlah fungsi komposisi (f_⁰g)(x) dan (g_⁰f)(x).

 

Pembahasan :  

 

Untuk komposisi (f₀g)(x),

 

(f₀g)(x) = f(g(x))

            = 2x + 1

            = 2(x² – 1) + 1  

            = 2x² – 2 + 1  

            = 2x² – 1

 

Untuk komposisi (g₀f)(x),

 

(g₀f)(x) = g(f(x))

            = x² + 1

            = (2x + 1)² – 1

            = 4x² + 4x + 1 – 1 

            = 4x² + 4x 

 

 

Contoh : 3

Diketahui fungsi komposisi (g₀f)(x) = 18x² + 24x + 2 dan fungsi g(x) = 2x² – 6. Tentukanlah rumus untuk fungsi berikut.

a)   Fungsi f(x)

b)   Fungsi komposisi (f₀g)(x)

 

Pembahasan : 

Bagian a)

 

ó (g₀f(x))(x) = g(f(x))

ó (g₀f(x))(x) = 2(f(x))² – 6

ó 18x² + 24x + 2 = 2(f(x))² – 6

ó 18x² + 24x + 8 = 2(f(x))²

ó                 f(x)² = 9x² + 12x + 4

ó                 f(x)  = ±(3x + 2)

 

Sehingga fungsi f(x) = (3x + 2) atau – (3x + 2)

 

Bagian b)

 

Untuk f(x) = (3x + 2) maka (f₀g)(x) :

ó (f₀g)(x) = f(g(x))

ó (f₀g)(x) = 3x + 2

ó             = 3(g(x)) + 2

ó             = 3(2x² – 6) + 2

ó             = 6x² – 18 + 2

ó             = 6x² – 16

 

Untuk f(x) = - (3x + 2) maka (f₀g)(x) :

ó (f₀g)(x) = - (3(2x² – 6) - 2

ó (f₀g)(x) = - (6x² – 18) - 2

ó             = - 6x² + 18 - 2

ó             = - 6x² + 16

 

 

Sifat – Sifat Operasi Fungsi Komposisi

1.  Pada umumnya sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak

    berlaku, yaitu g₀f ≠ f₀g.

2.  Sifat Asosiatif berlaku pada operasi fungsi komposisi f₀(g₀h) =

    (f₀g)₀h.

3.  Berlaku sifat identitas f₀I = I₀f

 

Contoh : 4

Diketahui fungsi f(x) = 4x + 3 dan g(x) = x – 1. Buktikan (g₀f)(x) = (f₀g)(x).

Pembahasan :

Komposisi (g₀f)(x)

ó (g₀f)(x) = g(f(x))

ó             = x – 1

ó             = (4x + 3) – 1

ó             = 4x + 2

Komposisi (f₀g)(x)

ó (f₀g)(x) = f(g(x))

ó             = 4x + 3

ó             = 4(x – 1) + 3

ó             = 4x – 4 + 3

ó             = 4x – 1

Kesimpulan, (g₀f)(x) ≠ (f₀g)(x)  

 

Latihan (PR)

 

1.   Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua menggunakan mesin II yang menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f(x) = 6x – 10 dan mesin II mengikuti fungsi g(x) = x² + 12, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton. Berapakah kertas yang dihasilkan ? (dalam satuan ton).

 

2.   Misalkan fungsi f(x) = x² – 4x + 2 dan fungsi g(x) = 3x – 7. Tentukanlah :

a)  (g₀f)(x)  

b) (f₀g)(x)

c)  (g₀f)(5)

d) (f₀g)(10)

 

3.   Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,5), (2,6), (3,– 1), (4,8)} dan g = {(2,– 1), (1,2), (5,3),(6,7)}. Tentukanlah :

a)  (g₀f)

b) (f₀g)

 

4.   Jika fungsi f memenuhi persamaan f(1) = 4 dan f(x + 1) = 2f(x). Tentukanlah f(2014).

 

5.   Diketahui (g₀f)(x) = 4x² + 4x dan g(x) = x² – 1. Tentukanlah nilai f(x – 2).  

 

 

    

 

Read More