LINGKARAN (PERTEMUAN - 2)

Tujuan Instruksional Umum (TIU)

Melalui pengamatan siswa mengenal pengertian sifat – sifat dan rumus – rumus tentang lingkaran serta mampu menerapkannya baik dalam bentuk Matematika, dalam mata pelajaran lain bahkan dalam kehidupan sehari – hari.

 

BANGUN DATAR : LINGKARAN

 

1.7 Simetri Cermin

 

 

Apabila lingkaran di atas dicerminkan terhadap garis tengah AB, maka semua titik – titik yang berada di busur ACB berpindah ke busur ADB dan semua titik – titik yang berada di busur ADB berpindah ke busur ACB.

 

Berarti apabila lingkaran di atas dicerminkan terhadap garis tengah AB, maka bayangannya berimpit dengan dirinya sendiri. Maka dikatakan lingkaran di atas mempunyai simetri cermin atau simetri sumbu atau simetri garis. Sedangkan AB disebut sumbu simetri.

 

Sebuah bangun dikatakan mempunyai simetri sumbu apabila bangun tadi dapat dicerminkan terhadap sebuah garis sehingga bayangannya berimpit dengan dirinya sendiri.

 

Perhatikan gambar lingkaran di bawah ini.

 

 

O titik pusat A, B, C, dan D terletak pada lingkaran. AB tegak lurus CD, maka AB merupakan sumbu simetri. Segitiga OCD adalah segitiga sama kaki karena OC = OD = merupakan jari – jari. Karena OCD merupakan segitiga sama kaki. Maka jika AB ^ CD, maka CE = DE dan sebaliknya jika CE = DE, maka AB ^ CD.

 

Karena hasil di atas berlaku bagi sembarang AB, maka :

(i)        Setiap garis tengah adalah sumbu simetri

(ii)       Garis tengah yang tegak lurus terhadap suatu tali busur akan membagi dua sama panjang tali busur itu.

(iii)     Garis tengah yang membagi dua sama panjang suatu tali busur, pasti tegak lurus pada tali busur itu.

(iv)     Garis yang membagi dua sama dan tegak lurus suatu tali busur, pasti garis itu melalui pusat lingkaran.

 

 

Contoh : 1

Diketahui seperti gambar,

 

 

Pada gambar di atas O adalah pusat lingkaran, sedangkan AB tegak lurus pada CD.

a)   Sebutkan sumbu simetri bangun di atas

b)   Jika ∠ COE = 50⁰, tentukanlah ∠ OCD

c)   Jika CD = 12 cm, tentukanlah panjang OE

d)   Sebutlah dua segitiga yang kongruen pada gambar di atas

e)   Sebutlah dua pasang busur yang sama panjang pada gambar di atas.

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

Sumbu simetrisnya adalah AB

 

Bagian b)

ó ∠ COD = 2 ∠ COE

ó ∠ COD = 2.(50⁰)

ó ∠ COD = 100⁰

 

Perhatikan ∆ COD

COD merupakan segitiga sama kaki, maka ∠ OCD = ∠ ODC

ó ∠ OCD + ∠ ODC + ∠ COD = 180⁰

ó ∠ OCD + ∠ ODC + 100⁰    = 180⁰

Karena ∠ OCD = ∠ ODC, maka

ó 2∠ OCD = 180⁰ – 100⁰

ó ∠ OCD = 80⁰ : 2

ó ∠ OCD = 40⁰

 

Bagian c)

AB tegak lurus pada CD, berarti AB membagi dua sama panjang CD, sehingga :

ó CE = ED = ½ CD

ó CE = ED = ½ . 12 cm

ó CE = ED = 6 cm

 

Bagian d)

OCE = ODE

 

Bagian e)

∠ COB = ∠ DOB,

Maka busur BC = busur BD

 

1.8 Cara Menentukan Pusat Lingkaran

 

Sebelum menentukan pusat lingkaran, berarti kita lebih dahulu mengerti apa itu lingkaran.

 

Defenisi lingkaran = tempat kedudukan titik – titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Jarak yang sama itu harus disebut dengan jari – jari lingkaran, sedangkan titik tertentu itu biasa disebut dengan pusat lingkaran.

 

Misalkan ada dua titik A dan B seperti gambar di bawah ini.

 

 

 

Untuk menentukan pusat suatu lingkaran yang melalui A dan B, berarti kita harus mencari suatu titik yang berjarak sama dari titik A dan B.

 

 

 

 

Cara melukisnya

Tentukan suatu titik yang terletak di tengah – tengah AB, kemudian buat suatu garis yang melalui tengah – tengah AB dan tegak lurus pada AB. Seperti tergambar garis l merupakan tempat kedudukan titik – titik yang dapat dibuat menjadi pusat lingkaran yang melalui A dan B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9 Perhitungan – Perhitungan yang Menggunakan dalil Phytagoras

 

 

Contoh : 1

Diketahui seperti gambar berikut

 

 

Tentukanlah panjang :

a)   AP

b)   AB

c)   CD

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

Perhatikan ∆ APO yang ⟘ di P

ó AP² = OA² – OP²

ó AP² = 5² – 4²

ó AP² = 25 – 16 = 9

ó AP = √9

ó AP = 3 satuan

Bagian b)

Karena OP ⟘ AB, maka

ó AB = 2 AP

ó AB = 2 (3)

ó AB = 6 satuan

 

Bagian c)

Karena AB dan CD berjarak sama dari O, maka

ó CD = AB

ó CD = 6 satuan

 

Contoh : 2

Perhatikan gambar di bawah ini,

 

 

Gambar di atas menunjukkan irisan pipa mendatar dengan garis tengah 1 m. Dalam terdapat air yang dalamnya 20 cm ditengah – tengah penampang. Hitunglah lebar permukaan air.

 

Pembahasan :

 

 

 

 

 

 

 

  

BC merupakan garis tengah BC = 1 m = 100 cm

Sedangkan OB = ½ BC.

ó OB = ½ BC

ó OB = ½ (100 cm)

ó OB = 50 cm

 

DE dalamnya air, DE = 20 cm

ó OE = OD – DE

ó OE = (50 – 20) cm

ó OE = 30 cm

 

Perhatikan ∆ OEB yang tegak lurus di titik E

ó BE² = OB² – OE²

ó BE² = 50² - 30²

ó BE² = 2500 – 900

ó BE  = √1600

ó BE  = 40 cm

 

Permukaan air, AB :

ó AB = 2. BE

ó AB = 2. (40 cm)

ó AB = 80 cm