PERSAMAAN TALI BUSUR

- Mei 04, 2022

MELUKIS GARIS (TALI BUSUR) DARI DUA LINGKARAN YANG BERPOTONGAN

Perhatikan gambar di bawah ini

L₁lingkaran dengan pusat C₁ dan memiliki radius r₁.

L₂lingkaran dengan pusat C₂ dan memiliki radius r₂

Untuk mendapatkan persamaan garis (tali busur) antara L₁ dan L₂diperoleh dari persamaan.

Dengan P₁ dan P₂ jarak tegak lurus terhadap tali busur

Contoh : 01

Tentukanlah kedua lingkaran di bawah ini bersinggungan atau tidak. Dan jika bersinggungan, tentukan titik singgung kedua lingkaran.

L₁≡ x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0

L₂≡ x² + y² – 4x - 6y – 3 = 0

Pembahasan :

Ada 2 cara untuk menyelesaikan contoh soal nomor 01 di atas. Berikut caranya,

Cara I,

Kita terlebih dahulu menentukan titik pusat lingkaran L₁

Sesuai bentuk umum BU : x² + y² + Ax + By + C = 0

Titik pusat C₁ dari L₁ ≡ x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0

Maka kedua lingkaran L₁ dan L₂ bersinggungan di luar

Selanjutnya untuk menentukan titik singgung, p (h,k) merupakan

titik singgung yang membagi titik pusat lingkaran C₁ ( - 1, - 1 )

dan C₂ ( 2,3) dalam rasio jari – jari r₁ : r₂ = 1 : 4, yaitu :

Maka titik singgung P ( - 2/5 , - 1/5 )

Cara II,

Persamaan lingkaran L₁ kurangkan dengan persamaan L₂,

Hasil diatas merupakan persamaan garis singgung kedua lingkaran. Kemudian kedua ruas kiri dan kanan kita bagi dengan 2 sehingga kita peroleh bentuknya lebih sederhana.

3x + 4y + 2 = 0 …(1)

Selanjutnya kita dapat menentukan persamaan garis normalnya sebagai berikut.

4x - 3y + n = 0 …(2)

Nilai titik pusat C₁ atau C₂ ke dalam persamaan (2), ingat salah satu saja.

Misalkan kita subsitusikan nilai C₁ ( - 1, - 1 ) ke dalam persamaan garis normal.

4(-1) - 3(-1) + n =0

n = 1

Sehingga persamaan garis normal, 4x – 3y + 1 = 0

Titik potong kedua lingkaran sama dengan titik potong antara garis normal dengan garis singgung.

Kita subsitusikan nilai y yang baru kita peroleh ke salah satu persamaan.

Sehngga kita peroleh titik singgung P ( - 2/5 , - 1/5 )

Contoh : 02

Tentukanlah kedua lingkaran berikut berpotongan atau tidak.

Pembahasan :

Catatan : syarat dua lingkaran berpotongan jika memenuhi persamaan di bawah ini.

Tentukan jarak titik pusat kedua lingkaran,

Contoh : 03

Diberikan dua persamaan lingkaran,

Titik pusat lingkaran L₁

Tinjau lingkaran L₂ ≡ x² + y² – 10x + 16 = 0

Titik pusat lingkaran L₂

Kita subsitusikan nilai yang sudah kita peroleh ke dalam BU – nya.

Sehingga nilai batasan r adalah = 2 < r < 8

Contoh : 04

Tali busur dari sebuah lingkaran berjari – jari a melalui titik pusat O ( 0,0 ). Diameter lingkaran tersebut berada di sepanjang sumbu x. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya adalah tali busur tersebut

Pembahasan :

Kita misalkan lingkaran yang besar adalah L₁ dan lingkaran yang kecil adalah L₂. Selanjutnya kita tentukan terlebih dahulu persamaan lingkaran L₁

Dari gambar di atas, titik pusat lingkaran L₁ adalah C₁ (a,0) dan jari – jarinya r₁ = a , maka persamaannya.

Tali busur T memotong lingkaran L₁, maka kita akan mendapatkan persamaan berikut.

Persamaan (3) merupakan persamaan lingkaran L₂. Karena tali busur T merupakan diameter dari lingkaran kecil L₂. Selanjutnya kita dapat menentukan nilai titik pusat C₂.