Posisi suatu titik T(p,q) terhadap lingkaran L

Posisi suatu titik T(p,q) terhadap lingkaran 

L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0  

Penentuan posisi suatu titik T(p,q) terhadap lingkaran L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0 dilakukan dengan mensubsitusikan T(p,q) ke persamaan lingkaran L.

Maka kita akan memperoleh nilai Kuasa K :

K ≡ p² + q² + Ap + Bq + C  

Dengan melihat nilai K kita dapat menentukan posisi titik T(p,q) terhadap lingkaran.

 

1.     T(p,q) di dalam lingkaran L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.     T(p,q) pada lingkaran L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.     T(p,q) di luar lingkaran L

 

 

 

 

 

 

Contoh 01:

Diberikan lingkaran dengan persamaan L ≡ x² + y² – 8x – 2y + 8 = 0  serta titik – titik A(5,2),B(4, – 2), dan C(6,4).Hitunglah posisi titik – titik A, B, dan C terhadap lingkaran L.

 

Pembahasan :

 

Untuk titik A(5,2)

 

A(5,2) → (5)² + (2)² – 8(5) – 2(2) + 8 = – 7

 

Kita peroleh nilai K_A = – 7 berarti nilai K_A < 0 , maka titik A

berada di dalam di dalam lingkaran L.

 

Untuk titik B(4, – 2)

Kita peroleh nilai K_B = 0, maka titik B tepat berada di lingkaran L.

 

Untuk titik C(6,4)

Kita peroleh nilai K_C = 4 berarti K_C > 0 , maka titik C berada

di luar dari lingkaran L.

 

Contoh 02:

Tentukan nilai n agar titik T(3, n) terletak pada lingkaran

x² + y² + 5x – 13y + 6 = 0.

 

Pembahasan :

 

Terletak pada lingkaran berarti nilai K_T = 0  

Contoh 03 :

Tentukan nilai k agar titik N(k , 2) terletak di luar lingkaran  

L ≡ x² + y² + 4x – 3y – 10 = 0

 

Pembahasan :

Suatu titik dipastikan berada di luar lingkaran bila K_N > 0

Subsitusikan nilai titik N(k,2) ke dalam persamaan lingkaran

Atau

Latihan

 

1.  Jika titik A(– 5, k ) terletak pada lingkaran L ≡ x² + y² + 2x – 5y – 21 = 0, maka nilai k adalah …

A.   – 2 atau – 1

B.   – 1 atau 6

C.   – 6 atau 1

D.   0 atau 3

E.    2 atau 4

 

2. Titik R(n, 1) terletak di luar lingkaran L ≡  x² + y² – 3x + 2y – 13 = 0, apabila …

A.   Nilai n > 2 atau n < – 5

B.   Nilai n > 5 atau n < – 2

C.   Nilai n > 5 atau n < 2

D.   Nilai – 2 < n < 5

E.    Nilai – 5 < n < 2   

 

3.  Lingkaran L berpusat di (1,3) dan berjari – jari R. Agar titik (5,0) terletak di luar L, maka nilai R haruslah …

A.   R > 5

B.   R > 4

C.   0 < R < 5

D.   4 < R < 5

E.    3 < R < 5

 

4.   Lingkaran L ≡ x² + y² – 2x + 4y – 6 = 0, memotong sumbu x di titik P dan Q, maka panjang PQ adalah …

A.   7√2

B.   5√2

C.   2√5

D.   2√7

E.    4√7

 

5. Titik T(x,y) terletak pada lingkaran L ≡ x² + y² – 6x + 8y = 0, sedangkan R(a,b) titik yang terletak di dalam lingkaran sedemikian sehingga TR = k dengan k konstanta tetap.

Nilai dari 

A.   1

B.   2

C.   3

D.   4

E.    5