PERTEMUAN - 1 PERSAMAAN LINGKARAN

SMA WR SUPRATMAN 2 MEDAN

Jl. Brigjend. Zein Hamid No. 33 Medan

Tahun Pelajaran         : 2023/2024

Semester                  : II(Dua)

Kelas                        : XI IPA

Pelajaran                   : Matematika (Peminatan)

Materi Ajar                : Lingkaran berpusat di (0,0)

Ha

ri/tanggal               : …………………

 

Daftar Isi :

·  Teori Penghantar

·  Contoh soal

·  Latihan

 

Teori

1.   Defenisi

Defenisi adalah tempat kedudukan titik – titik yang 

berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang 

digambarkan pada bidang cartesian.

 

 

Gambar lingkaran di atas memiliki titik pusat P (a,b), 

memiliki jari – jari ( r ). Bentuk persamaan lingkaran 

bergantung pada letak pusat lingkaran dan panjang 

jari – jarinya.

 

Untuk menentukan persamaan lingkaran, 

kita harus menentukan terlebih dahulu jarak J.

· Jarak antara dua titik A(x₁ , y₁) dan B(x₂ , y₂)

    

   

· Jarak titik A(x₁ , y₁) terhadap garis lurus 

    ax + by + c = 0

 

 

Bentuk persamaan lingkaran tergantung pada 

letak pusat lingkaran dan panjang jari – jarinya (r).

 

2.   Persamaan Lingkaran yang berpusat 

        di O (0,0) dan berjari – jari ( r )

 

      

 

 

 

 

 

 

Dari gambar di atas, titik A(x,y) berada pada lingkaran 

dengan titik pusat O(0,0). Lalu perhatikan segitiga 

∆OA₁A dengan siku – siku di A₁.

 

Dengan menggunakan Pythagoras :

 

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan 

jari – jari r ditentukan dengan x² + y² = r².

 

 

Contoh : 01

Susunlah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) 

dengan jari – jari ( r ) sebagai berikut :

a)   Jari – jari, r = 4

b)   Jari – jari, r = √3

c)   Jari – jari,  r = 2 + √3

d)   Jari – jari, r = 3 - √2

 

Pebahasan :

 

Bagian a)

Pusat di titik O(0,0) dengan r = 4

  

 Bagian b)

Pusat di titik O(0,0) dengan r = √3

  

 Bagian c)

Pusat di titik O(0,0) dengan r = 2 + √3

  

Bagian d)

Pusat di titik O(0,0) dengan r = 3 - √2

 

Contoh : 02

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) 

dan melalui masing – masing titik berikut.

a)   A(2,4)

b)   E(a,2)

c)   F(-3,b)

Pembahasan :

Bagian a)

Karena lingkaran x² + y² = r² melalui titik A(2,4), 

maka nilai  r² ditentukan

ó x² + y² = r²

ó 2² + 4² = r²

ó r² = 20

ó maka pers. Lingkarannya menjadi x² + y² – 20 = 0 

 

Bagian b)

Karena lingkaran x² + y² = r² melalui titik E(a,2), 

maka nilai r² ditentukan

ó x² + y² = r²

ó a² + 2² = r²

ó r² = a² + 4

ó maka pers. Lingkarannya menjadi 

    x² + y² – (a² + 4) = 0 

 

Contoh : 03

Tentukan tempat kedudukan titik – titik P(x,y) yang 

memenuhi setiap hubungan berikut :

a)   {P(x,y) / PB = 4 PA}, apabila A(0,1) dan B(0,16)

b)   {P(x,y) / PB = 2 PA }, apabila A(1,0) dan B(4,0)

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

 

 

Jadi, tempat kedudukan titik – titik P(x,y) 

tersebut adalah lingkaran yang berpusat di 

O(0,0) dan berjari – jari 4.

 

Bagian b)

 

ó PB = 2PA (ruas kiri dan kanan kita kuadratkan)

ó (PB)² = 4(PA)²

ó (4 – x)² + (0 – y)² = 4[(1 – x)² + (0 – y)²]

ó  16 – 8x + x² + y² = 4[ 1 – 2x + x² + y² ]

ó  16 – 8x + x² + y² = 4 – 8x + 4x² + 4y²

ó              3x² + 3y² = 16 – 4

ó              3x² + 3y² = 12

ó x² + y² = 4 atau x² + y² – 4 = 0

 

Jadi tempat kedudukan titik P(x,y) tersebut adalah 

lingkaran yang berpusat di O(0,0) 

dan berjari – jari 2.

 

 

Contoh : 04

Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter 

(garis tengah) ruas garis AB untuk setiap pasang 

titik A dan titik B berikut :

a.   A(1, – 2) dan B(– 1, 2)

b.   A(a, b) dan B(– a, – b)

 

Pembahasan :

 

Bagian a)

 

Cara I

 

Catatan :

 

Untuk menentukan titik pusat lingkaran,

 

    

 

Untuk jari – jari = ½ AB

 

  

 

Maka soal bagian a) dapat kita selesaikan 

Tentukan titik pusat lingkaran, P :

 

  

 

Maka jari – jari, r :

 

  

 

 

 

 

Persamaan lingkaran dengan pusat di tittik

O(0,0) dan berjari – jari r = √5.

Maka persamaan lingkarannya x² + y² = 5.

 

 

Cara II

 

Titik A( 1, – 2 ) dan B( – 1, 2 )

 

Penyelesaian :

 

ó ( x – 1 )( x + 1 ) + ( y + 2 )( y – 2 ) = 0

ó ( x² – 1 ) + ( y² – 4 ) = 0

ó x² + y² – 5 = 0

ó x² + y² = 5

 

BU : ( x – a )( x + a ) + ( y – b )( y + b ) = 0

 

Bagian b)

 

Pusat lingkaran :

 

       

 

Jari – jari lingkaran :

 

 

Maka persamaan lingkaran, L :

 

  

 

 

 

Secara umum, persamaan lingkaran yang melalui 

titik ujung diameter AB dengan A( x_A , y_A ) dan 

B( x_B , y_B ) dapat dirumuskan sbb :

 

BU : ( x – a )( x + a ) + ( y – b )( y + b ) = 0

 

 

Contoh : 05

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat 

di O(0,0) serta menyinggung masing – masing 

garis berikut ini.

a.   3x + 4y + 10 = 0

b.   12x – 5y – 39 = 0

c.   x – 5 = 0

d.   y + 5 = 0

e.   y – 3 = 0

f.    x = – 7

 

 

Pembahasan :

 

Catatan,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bagian a)

 

Persamaan garis, 3x + 4y + 10 = 0

 

 

 

 

 

 

 

Bagian b)

 

Persamaan garis, 12x – 5y – 39 = 0

 

 

 

 

 

 

 

Bagian c)

 

Persamaan garis, x – 5 = 0

 

 

 

 

 

 

 

Bagian d)

 

Persamaan garis, y + 5 = 0

 

 

 

 

 

 

 

Bagian e)

 

Persamaan garis, y – 3 = 0

 

  

 

 

 

 

 

Bagian f )

 

Persamaan garis, x = – 7